Wędrówki z Fourierem II

Johann Radon i Ultradźwiękowy Skaner Piersi

Johann Karl August Radon - austriacki matematyk, był w latach 1928 – 45 profesorem Uniwersytetu Wrocławskiego. Wcześniej, bo już w 1917 roku, wykazał teoretycznie, że niewidzialny przekrój obiektu trójwymiarowego odtworzyć można ze zbioru jego rzutów zebranych w różnych kierunkach. Radon stworzył  też matematyczne narzędzia takiego odtwarzania. Ta matematyka stała się podstawą działania rentgenowskiego tomografu komputerowego (CT-Computer Tomography), za który nagrodę Nobla w kategorii „Medycyna lub Fizjologia” w 1979 roku otrzymali Alan M. Cormac i Godfrey N. Hounsfield.

Johanna Radona na liście wyróżnionych nie było. Zmarł w 1956 roku, a tomograf stworzony został dopiero w kolejnych dziesięcioleciach. Co było przyczyną takiego opóźnienia? Przecież teoretyczne podstawy rekonstrukcji autorstwa Radona były gotowe od dawna. Stosowane w tomografii komputerowej promieniowanie, Wilhelm Roentgen odkrył jeszcze wcześniej. Już od lat stosowano je do prześwietleń, czyli właśnie rzutowania objętości ciała na płaszczyznę kliszy. Jednak moc obliczeniową i rozmiary pamięci, niezbędne do numerycznego odtworzenia przekroju ciała z rzutów, komputery osiągnęły dopiero w latach siedemdziesiątych. Dla Radona o kilkanaście lat za późno. Niemniej jego nazwisko znane jest tym, którzy zajmują się podstawami tomografii, bo trudno się tam obyć bez operacji znanej jako „Transformacja Radona”.
Uzupełnieniem matematyki Radona są twierdzenia związane z transformacją Fouriera. Ich zastosowanie prowadzi do alternatywnej metody rekonstrukcji tomograficznej, której zaletą jest możliwość numerycznego algorytmu szybkiej transformacji Fouriera (ang. fast Fourier transform FFT) i związana z tym algorytmem duża efektywność obliczeniowa programów rekonstrukcji obiektu.

Tomografia

Dziś lekarze mogą oglądać szczegóły naszego wnętrza z rozdzielczością ułamków milimetra. W zależności o tego co chcą dostrzec, rzutowanie wnętrza ciała odbywa się różnymi metodami:

• Najwcześniej stosowano prześwietlanie promieniami Roentgena. Ten typ tomografii uwydatnia obecność tkanek zawierających cięższe pierwiastki (np. kości).
• W tomografii PET rejestruje się pary przeciwstawnych fotonów gamma, pochodzących z rozpadów pozytonów (PET – Positon Emmision Tomography). Pozytony pochodzą z rozpadu izotopów podawanych jako tzw. kontrast do organizmu. Metoda ujawnia transport i lokowanie znakowanych pierwiastków w organizmie.
• Radiowy „podsłuch” oscylacji lekkich jąder atomowych naszych tkanek w gradientowym polu magnetycznym to technika NMRI (MR – Magnetic Resonance). Tomografia NMRI umożliwia wizualizację tkanek miękkich, a nawet „podglądanie” naszych myśli przez wskazywanie, które obszary mózgu są aktywowane przez wybrane bodźce lub gdy pacjent koncentruje uwagę na wybranym temacie.
• Ultradźwięki odbite od organów ciała generują echo, które zbierane z różnych kierunków nadaje się do tomograficznej rekonstrukcji wnętrza ciała. Nowe techniki ultradźwiękowej tomografii transmisyjnej są rozwijane we Wrocławiu.

Ultradźwiękowy skaner piersi

Wiemy, że echo odbite od przeszkód niesie informacje o odległości od odbijającego dźwięk obiektu.  W medycynie głowica ultrasonografu zbiera właśnie takie echa, a stosunkowo prosta wersja algorytmu rekonstruującego prowadzi do pojawienia się na ekranie jasnych plam reprezentujących położenie tkanek, a właściwie granic pomiędzy ich różnymi typami, bo właśnie na takich granicach dźwięk się odbija. Ultradźwięki uznawane są za mało inwazyjne i badanie z ich zastosowaniem może być powtarzane często. Daje  to możliwość porównawczego śledzenia zachodzących zmian i wczesnego wykrywania zagrożeń.

W 2000 roku w Toronto zainicjowany został projekt zbudowania samoobsługowego skanera z algorytmem umożliwiającym porównywanie wyników kolejnych skanów dla wykrycia zachodzących w tkankach zmian. Prototyp skanera powstał w firmie OPTEL, którą stworzyliśmy kilka lat wcześniej we Wrocławiu. Po pierwszych udanych testach skanera zostałem zaproszony do Toronto do współpracy przy opracowaniu programu tomograficznej rekonstrukcji wnętrza piersi.

Pisząc program związany z rekonstrukcją danych pomiarowych, ważne jest by rozumieć proces ich rejestracji. Obecność i obserwacja w trakcie pomiaru dostarcza najwięcej informacji o jego warunkach i przebiegu. Żeby umożliwić pomiary bez krępowania moją osobą testujących skaner pacjentek, do zespołu dołączyła moja żona. Przez kilka tygodni mogliśmy, przy jej udziale, testować efekty większych i mniejszych modyfikacji skanera oraz ich wpływ na jakość rekonstrukcji. Przy okazji cieszyliśmy się pierwszą, wspólną wyprawą za Atlantyk.

11 września 2001

W ramach pierwszego pobytu w Kanadzie wziąłem udział w konferencji ultradźwiękowej, która odbyła się w Windsor Ontario. Po drugiej stronie granicznej rzeki widoczne było Detroit w USA. Wieczorem 10 września 2001 w programie konferencji była wycieczka statkiem po rzece. Po raz pierwszy byłem o parędziesiąt  metrów od USA. Moje wystąpienie konferencyjne wyznaczone było na kolejny dzień. W trakcie innych wykładów siedziałem z tyłu sali i dokonywałem ostatnich korekt w mojej prezentacji. Tęgi człowiek wszedł  chwiejnym krokiem na salę i zapytał mnie gdzie jest prowadzący sesję. Wspomniał też, że było „bombardowanie w Nowym Yorku”. Po kilkunastu minutach powrócił i wspomniał o ataku na Pentagon. W myślach postukałem się w czoło zakładając, że co jak co ale zbombardowanie Pentagonu jest przecież niemożliwe. Miałem potem jeszcze swoje wystąpienie. Dopiero po nim ogłoszono związaną z wypadkami tego dnia przerwę.

Moje mieszkanie w Toronto położone było na przedłużeniu pasa lotniska Pearson. Po 11 września 2001 samoloty umilkły na niemal dwa tygodnie. O tyle przedłużony był mój pobyt w Toronto. Na widok pierwszego po tej przerwie samolotu podskakiwałem z radości. W końcu mogłem wracać do domu.

Kanadyjskie atrakcje

W Toronto, odbywają się od 1881 roku turnieje tenisowe. W 2001 roku mogłem bezpośrednio obserwować grę Moniki Seles, Martiny Hingis, a w 2002 Pita Samprasa, Marcelo Riosa i magika na kortach Fabrice Santoro. W środku lata podziwiałem taneczną paradę uliczną. Zespoły muzyczne na jadących platformach, rytmiczna muzyka, kolorowe ciała w efektownych strojach, zadziwiające głosy zespołów grających na marimbach, to klimat festiwalu „Caribana”, przeniesionego do Toronto wprost z gorących wysp karaibskich.  

Wodospad Niagara zobaczyłem w kilka dni po 11 września 2001 roku. Masa opadającej wody, wzbijana mgła, a na niej tęcza, małe stateczki na dole. Poczucie straty i smutku przy spojrzeniu na stronę USA, gdzie widoczna była opuszczona do połowy flaga. Drugi raz byliśmy nad Niagarą już razem z Jolą w styczniu 2002.

Na koniec pragnę serdecznie podziękować profesorom złotoryjskiego LO. Edward  Kopczak i Czesław Rydzik bardzo ułatwiali start do poznawania fizyki i matematyki na kolejnych etapach.